Función De Transferencia De Filtro Media Móvil

Respuesta de Frecuencia del Filtro Promedio Corriente La respuesta de frecuencia de un sistema LTI es la DTFT de la respuesta de impulso. La respuesta de impulso de un promedio móvil de L-muestra es. Dado que el filtro de media móvil es FIR, la respuesta de frecuencia se reduce a la suma finita We Puede utilizar la identidad muy útil para escribir la respuesta de frecuencia como donde hemos dejado ae menos jomega. N 0 y M L menos 1. Podemos estar interesados ​​en la magnitud de esta función para determinar qué frecuencias pasan a través del filtro sin atenuación y cuáles son atenuadas. A continuación se muestra un gráfico de la magnitud de esta función para L 4 (rojo), 8 (verde) y 16 (azul). El eje horizontal varía de cero a pi radianes por muestra. Observe que en los tres casos, la respuesta de frecuencia tiene una característica de paso bajo. Un componente constante (frecuencia cero) en la entrada pasa a través del filtro sin atenuación. Ciertas frecuencias más altas, como pi / 2, son completamente eliminadas por el filtro. Sin embargo, si la intención era diseñar un filtro de paso bajo, entonces no lo hemos hecho muy bien. Algunas de las frecuencias más altas se atenúan sólo por un factor de 1/10 (para la media móvil de 16 puntos) o 1/3 (para la media móvil de cuatro puntos). Podemos hacer mucho mejor que eso. La gráfica anterior se creó mediante el siguiente código Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-iomega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) trama (omega) , Abs (H4) abs (H8) abs (H16) eje (0, pi, 0, 1) Copyright copy 2000 - Universidad de California, BerkeleySignal Procesamiento / Filtros Digitales Los filtros digitales son por esencia sistemas muestreados. Las señales de entrada y salida están representadas por muestras con igual distancia de tiempo. Los filtros de respuesta de implante finito (FIR) se caracterizan por una respuesta de tiempo que depende solamente de un número dado de las últimas muestras de la señal de entrada. En otros términos: una vez que la señal de entrada ha caído a cero, la salida del filtro hará lo mismo después de un número dado de períodos de muestreo. La salida y (k) viene dada por una combinación lineal de las últimas muestras de entrada x (k i). Los coeficientes b (i) dan el peso para la combinación. También corresponden a los coeficientes del numerador de la función de transferencia de filtro de dominio z. La figura siguiente muestra un filtro FIR de orden N 1: Para los filtros de fase lineal, los valores de los coeficientes son simétricos alrededor del medio y la línea de retardo puede plegarse alrededor de este punto medio para reducir el número de multiplicaciones. La función de transferencia de los filtros FIR sólo muestra un numerador. Esto corresponde a un filtro cero. Los filtros FIR normalmente requieren pedidos altos, en la magnitud de varios cientos. Por lo tanto, la elección de este tipo de filtros necesitará una gran cantidad de hardware o CPU. A pesar de esto, una razón para elegir una aplicación de filtro FIR es la capacidad de lograr una respuesta de fase lineal, que puede ser un requisito en algunos casos. Sin embargo, el diseñador principal tiene la posibilidad de elegir filtros IIR con una buena linealidad de fases en la banda de paso, como los filtros Bessel. O para diseñar un filtro allpass para corregir la respuesta de fase de un filtro IIR estándar. Moving Average Filters (MA) Los modelos de media móvil (MA) son modelos de proceso en la forma: MA procesos es una representación alternativa de los filtros FIR. Filtros Promedio Editar Un filtro que calcula el promedio de las N últimas muestras de una señal Es la forma más simple de un filtro FIR, con todos los coeficientes iguales. La función de transferencia de un filtro promedio está dada por: La función de transferencia de un filtro promedio tiene N ceros igualmente espaciados a lo largo del eje de frecuencia. Sin embargo, el cero en DC está enmascarado por el polo del filtro. Por lo tanto, hay un lóbulo más grande un DC que da cuenta de la banda de paso del filtro. Filtros integrados en cascada (CIC) Editar Un filtro integrador-peine en cascada (CIC) es una técnica especial para implementar filtros promedio colocados en serie. La colocación en serie de los filtros medios mejora el primer lóbulo en DC comparado con todos los otros lóbulos. Un filtro CIC implementa la función de transferencia de N filtros promedio, calculando cada uno el promedio de muestras R M. Su función de transferencia se da así: Los filtros CIC se utilizan para diezmar el número de muestras de una señal por un factor R o, en otros términos, para remuestrear una señal a una frecuencia más baja, arrojando muestras R 1 fuera de R. El factor M indica cuánto del primer lóbulo es utilizado por la señal. El número de etapas de filtro promedio, N. Indica qué tan bien se amortiguan otras bandas de frecuencia, a expensas de una función de transferencia menos plana alrededor de DC. La estructura de CIC permite implementar todo el sistema con sólo sumadores y registros, sin utilizar multiplicadores que sean codiciosos en términos de hardware. El downsampling por un factor de R permite aumentar la resolución de la señal mediante bits log 2 (R) (R). Filtros canónicos Los filtros canónicos implementan una función de transferencia de filtros con un número de elementos de retardo igual al orden del filtro, un multiplicador por coeficiente de numerador, un multiplicador por coeficiente de denominador y una serie de sumadores. Similarmente a los filtros activos, las estructuras canónicas, este tipo de circuitos mostraron ser muy sensibles a los valores de los elementos: un pequeño cambio en los coeficientes tuvo un gran efecto sobre la función de transferencia. Aquí también, el diseño de los filtros activos se ha desplazado de los filtros canónicos a otras estructuras tales como cadenas de secciones de segundo orden o filtros de salto de altura. Cadena de secciones de segunda orden Editar sección de segunda orden. A menudo referido como biquad. Implementa una función de transferencia de segundo orden. La función de transferencia de un filtro puede dividirse en un producto de funciones de transferencia, cada uno asociado a un par de polos y posiblemente un par de ceros. Si el orden de las funciones de transferencia es impar, entonces se debe añadir una sección de primer orden a la cadena. Esta sección está asociada al polo real y al cero real si lo hay. Directa-forma 1 directa-forma 2 directa-forma 1 transpuesta directa-forma 2 transpuesta La forma directa 2 transpuesta de la siguiente figura es especialmente interesante en términos de hardware necesario, así como la señal y el coeficiente de cuantificación. Filtros de Leapfrog Digital Editar Filtro Estructura Editar Filtros de salto digital basados ​​en la simulación de filtros de salto analógico activo. El incentivo para esta elección es heredar de las excelentes propiedades de sensibilidad de banda de paso del circuito de escalera original. El siguiente filtro paso a paso de paso bajo todo-polo de 4º orden se puede implementar como un circuito digital reemplazando los integradores analógicos con acumuladores. El reemplazo de los integradores analógicos con acumuladores corresponde a simplificar la transformación Z a z 1 s T. Que son los dos primeros términos de la serie de Taylor de z e x p (s T). Esta aproximación es suficientemente buena para los filtros en los que la frecuencia de muestreo es mucho mayor que el ancho de banda de la señal. Transfer Function Edit La representación del espacio de estado del filtro anterior puede escribirse como: A partir de este conjunto de ecuaciones, se pueden escribir las matrices A, B, C, D como: A partir de esta representación, herramientas de procesamiento de señales como Octave o Matlab permiten trazar La respuesta de frecuencia de los filtros o para examinar sus ceros y polos. En el filtro de salto digital, los valores relativos de los coeficientes establecen la forma de la función de transferencia (Butterworth, Chebyshev.), Mientras que sus amplitudes establecen la frecuencia de corte. Dividiendo todos los coeficientes por un factor de dos desplaza la frecuencia de corte por una octava (también un factor de dos). Un caso especial es el Buterworth 3 ª orden filtro que tiene constantes de tiempo con valores relativos de 1, 1/2 y 1. Debido a eso, este filtro puede ser implementado en hardware sin ningún multiplicador, pero utilizando cambios en su lugar. Los modelos de autoregresión (AR) son modelos de procesos en la forma: Donde u (n) es la salida del modelo, x (n) es la entrada del modelo y u (n - m) son anteriores Muestras del valor de salida del modelo. Estos filtros se denominan autoregresivos porque los valores de salida se calculan sobre la base de regresiones de los valores de salida anteriores. Los procesos AR pueden ser representados por un filtro todo-polo. ARMA Filters Editar Autoregressive Moving-Average (ARMA) filtros son combinaciones de AR y MA filtros. La salida del filtro se da como una combinación lineal tanto de la entrada ponderada como de las muestras de salida ponderadas: los procesos ARMA pueden considerarse como un filtro IIR digital, con polos y ceros. Los filtros AR se prefieren en muchos casos porque pueden analizarse usando las ecuaciones de Yule-Walker. Los procesos MA y ARMA, por otra parte, pueden ser analizados por complicadas ecuaciones no lineales que son difíciles de estudiar y modelar. Si tenemos un proceso AR con coeficientes de ponderación a (a vector de a (n), a (n - 1).) Una entrada de x (n). Y una salida de y (n). Podemos usar las ecuaciones del yule-andador. Decimos que x2 es la varianza de la señal de entrada. Tratamos la señal de datos de entrada como una señal aleatoria, aunque sea una señal determinista, porque no sabemos cuál será el valor hasta que lo recibamos. Podemos expresar las ecuaciones de Yule-Walker como: Donde R es la matriz de correlación cruzada de la salida del proceso Y r es la matriz de autocorrelación de la salida del proceso: Variación Edición Podemos demostrar que: Podemos expresar la varianza de la señal de entrada como: , Expandiendo y sustituyendo por r (0). Podemos relacionar la varianza de salida del proceso con la varianza de entrada: Introducción al Filtrado 9.3.1 Introducción al Filtrado En el campo del procesamiento de señal, el diseño de filtros de señales digitales implica el proceso de suprimir ciertas frecuencias y aumentar otras. Un modelo de filtro simplificado es donde se modifica la señal de entrada para obtener la señal de salida usando la fórmula de recursión. La implementación de (9-23) es sencilla y sólo requiere valores iniciales, luego se obtiene por simple iteración. Dado que las señales deben tener un punto de partida, es común requerir que y para. Hacemos hincapié en este concepto haciendo la siguiente definición. Definición 9.3 (Secuencia Causal) Dadas las secuencias de entrada y salida. Si y para, la secuencia se dice que es causal. Dada la secuencia causal, es fácil calcular la solución a (9-23). Utilice el hecho de que estas secuencias son causales: El paso iterativo general es 9.3.2 Los Filtros Básicos Los siguientes tres filtros básicos simplificados sirven como ilustraciones. (I) Zeroing Out Filter, (tenga en cuenta que). (Ii) Boosting Up Filter, (tenga en cuenta que). (Iii) Filtro de Combinación. La función de transferencia para estos filtros modelo tiene la siguiente forma general donde las transformadas z de las secuencias de entrada y salida son y, respectivamente. En la sección anterior mencionamos que la solución general a una ecuación de diferencias homogéneas es estable sólo si los ceros de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo unitario. De manera similar, si un filtro es estable, entonces los polos de la función de transferencia deben estar todos dentro del círculo unitario. Antes de desarrollar la teoría general, nos gustaría investigar la respuesta de amplitud cuando la señal de entrada es una combinación lineal de y. La respuesta de amplitud para la frecuencia utiliza la señal de unidad compleja, y se define para ser La fórmula para será rigurosamente explicada después de algunos ejemplos introductorios. Ejemplo 9.21. Dado el filtro. 9.21 (a). Mostrar que es un filtro de puesta a cero para las señales y y calcular la respuesta de amplitud. 9.21 (b). Calcular las respuestas de amplitud e investigar la señal filtrada para. 9.21 (c). Calcular las respuestas de amplitud e investigar la señal filtrada para. Figura 9.4. La respuesta de amplitud para. Figura 9.5. La entrada y la salida. Figura 9.6. La entrada y la salida. Explorar la solución 9.21. Ejemplo 9.22. Dado el filtro. 9.22 (a). Muestre que es un filtro ascendente para las señales y y calcule la respuesta de la amplitud. 9.22 (b). Calcular las respuestas de amplitud e investigar la señal filtrada para. Figura 9.7. La respuesta de amplitud para. Figura 9.8. La entrada y la salida. Explorar la solución 9.22. 9.3.3 La ecuación de filtro general La forma general de una ecuación de diferencia de filtro de orden es donde y son constantes. Tenga en cuenta que los términos implicados son de la forma y donde y, lo que hace que estos términos tiempo retrasado. La forma compacta de escribir la ecuación de diferencia es donde la señal de entrada se modifica para obtener la señal de salida usando la fórmula de recursión. La porción cerrará las señales y aumentará las señales. Observación 9.14. La fórmula (9-31) se llama ecuación de recursión y los coeficientes de recursión son y. Se muestra explícitamente que la salida actual es una función de los valores pasados, para, la entrada presente, y las entradas anteriores para. Las secuencias se pueden considerar como señales y son cero para los índices negativos. Con esta información podemos ahora definir la fórmula general para la función de transferencia. Utilizando la propiedad de cambio de tiempo retardado para las secuencias causales y tomando la transformada z de cada término en (9-31). Obtenemos que podemos factorizar fuera de las sumaciones y escribir esto en una forma equivalente. De la ecuación (9-33) obtenemos lo que conduce a la siguiente definición importante. Definición 9.4 (Función de transferencia) La función de transferencia correspondiente a la ecuación de diferencia de órdenes (8) está dada por la fórmula (9-34) es la función de transferencia para un filtro de respuesta de impulso infinito (filtro IIR). En el caso especial cuando el denominador es unidad, se convierte en la función de transferencia para un filtro de respuesta de impulso finito (filtro FIR). Definición 9.5 (Respuesta unidad-muestra) La secuencia correspondiente a la función de transferencia se denomina respuesta unidad-muestra. Teorema 9.6 (Respuesta de salida) La respuesta de salida de un filtro (10) dada una señal de entrada viene dada por la transformación z inversa y en forma de convolución se da por otro uso importante de la función de transferencia es estudiar cómo afecta un filtro Varias frecuencias. En la práctica, se muestrea una señal de tiempo continuo a una frecuencia que es al menos el doble de la frecuencia de señal de entrada más alta para evitar el repliegue de frecuencia o aliasing. Esto es porque la transformada de Fourier de una señal muestreada es periódica con el período, aunque no lo probaremos aquí. Aliasing evita la recuperación precisa de la señal original de sus muestras. Ahora se puede demostrar que el argumento de la transformada de Fourier se correlaciona con el círculo de la unidad del plano z mediante la fórmula (9-37), donde se llama frecuencia normalizada. Por lo tanto, la transformada z evaluada en el círculo unitario es también periódica, excepto con el período. Definición 9.6 (Respuesta de amplitud) La respuesta de amplitud se define como la magnitud de la función de transferencia evaluada en la señal de unidad compleja. La fórmula es (9-38) en el intervalo. El teorema fundamental del álgebra implica que el numerador tiene raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene raíces (llamadas polos). Los ceros se pueden elegir en pares conjugados en el círculo unitario y para. Para la estabilidad, todos los polos deben estar dentro del círculo de la unidad y para. Además, los polos se eligen para ser números reales y / o en pares conjugados. Esto garantizará que los coeficientes de recursión son todos números reales. Los filtros IIR pueden ser de polo o de polo cero y la estabilidad es un filtro FIR preocupante y todos los filtros cero son siempre estables. 9.3.4 Diseño de filtros En la práctica, se utiliza la fórmula de recursión (10) para calcular la señal de salida. Sin embargo, el diseño del filtro digital se basa en la teoría anterior. Comienza seleccionando la ubicación de ceros y polos correspondientes a los requisitos de diseño del filtro y construyendo la función de transferencia. Como los coeficientes en son reales, todos los ceros y polos que tienen un componente imaginario deben ocurrir en pares conjugados. A continuación, los coeficientes de recursión se identifican en (13) y se utilizan en (10) para escribir el filtro recursivo. Tanto el numerador como el denominador pueden ser factorizados en factores cuadráticos con coeficientes reales y posiblemente uno o dos factores lineales con coeficientes reales. Los siguientes principios se utilizan para construir. (I) Factores de Zeroing Out Para filtrar las señales y, utilizar los factores de la forma en el numerador de. Contribuirán al término (ii) Impulsando Factores Para amplificar las señales y usar factores de la forma